SSC और बैंक परीक्षाओं के उदाहरणों के साथ क्रमुच्चय और समुच्चय फॉर्मूला

एप्टीट्यूड प्रश्नों में क्रमुच्चय और समुच्चय फ़ार्मुलों का उपयोग करना मुश्किल नहीं है। आपको केवल फ़ार्मुलों का उपयोग करने का सही तरीका सीखने की ज़रूरत है और यह जानना चाहिए कि आप क्रमुच्चय और समुच्चय समीकरण उदाहरणों के साथ कितने प्रकार के फ़ार्मुलों का उपयोग कर सकते हैं।

इस ब्लॉग की सहायता से, आप आसानी से सीख सकते हैं कि विभिन्न समीकरण उदाहरणों के साथ क्रमुच्चय और समुच्चय फ़ार्मुलों का उपयोग कैसे करें। आप इन सूत्रों के उदाहरणों की सहायता से प्रतियोगी परीक्षाओं में अपना स्कोर या रैंक आसानी से बढ़ा सकते हैं। 

समाधान के साथ क्रमुच्चय और समुच्चय समस्याओं को हल करने के लिए यहां क्लिक करें। साथ ही, इस विषय में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए आपको क्रमुच्चय और समुच्चय प्रश्नों का अभ्यास करना चाहिए।

उदाहरणों के साथ क्रमुच्चय और समुच्चय के सूत्र

फैक्टोरियल नोटेशन: मान लीजिए n धनात्मक पूर्णांक है। फिर, भाज्य n, n! परिभाषित किया जाता है

n! = n(n – 1)(n – 2)………3.2.1.

उदाहरण: (i) 5! = (5×4×3×2×1) = 120; (ii) 4! = (4×3×2×1) = 24 etc.

हम परिभाषित करते हैं, 0! = 1.

क्रमुच्चय क्या है?

क्रमुच्चय: एक समय में कुछ या सभी चीजों को लेकर दी गई संख्या की विभिन्न व्यवस्थाओं को क्रमुच्चय कहा जाता है।

उदाहरण.1. एक बार में दो अक्षर लेकर a, b, c अक्षरों से किए गए सभी क्रमुच्चय (व्यवस्था के लिए) हैं (ab, ba, ac, ca, bc, cb)।

उदाहरण.2. एक बार में सभी को लेकर a, b, c अक्षरों से किए गए सभी क्रमुच्चय हैं:

(abc, acb, bac, bca, cab, cba).

क्रमुच्चय की संख्या: n चीजों के सभी क्रमुच्चय की संख्या, एक बार में r लिए गए, निम्न द्वारा दी गई है:

  $$^nP_r = n(n – 1)(n – 2)………(n-r+1)={n!\over(n-r)!}$$

उदाहरण: (i) ⁶P₂ = (6×5) = 30.  (ii) ⁷P₃ = (7×6×5)=210.

Cor. Number of all permutations of n things, taken all at time = n!

एक महत्वपूर्ण रिजल्ट: यदि कोई n वस्तु है जिसमें p1 एक प्रकार के समान हैं; p2 दूसरे प्रकार के समान हैं; p3 तीसरे प्रकार के समान हैं और इसी तरह और pr rth प्रकार के समान हैं, जैसे कि (p1+p2+pr) = n

फिर, इन n वस्तुओं के क्रमुच्चय की संख्या है:

$${n!\over(p_1!).(p_2!)...........(p_r!)} $$

समुच्चय: विभिन्न समूहों या चयनों में से प्रत्येक जो कुछ या सभी वस्तुओं को लेकर बनाया जा सकता है, समुच्चय कहलाता है।

उदाहरण.1. मान लीजिए हम तीन लड़कों A, B, Cमें से दो का चयन करना चाहते हैं, तो संभावित चयन AB, BC और CA हैं।

ध्यान दें कि AB और BC और CA।

ध्यान दें कि AB और BA एक ही चयन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उदाहरण.2. एक समय में दो को लेकर a, b, c से बनने वाले सभी समुच्चय ab, bc, ca हैं।

उदाहरण.3. एक ही समय में तीन अक्षरों a, b, c को मिलाकर बनने वाला एकमात्र समुच्चय abc है।

उदाहरण.4. चार व्यक्तियों A, B, C, D में से 2 के विभिन्न समूह हैं :

AB, AC, AD, BC, BD, CD.

उदाहरण.5. ध्यान दें कि ab और ba दो अलग-अलग क्रमुच्चय हैं लेकिन वे एक ही समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं।

समुच्चय की संख्या: एक समय में r लिए गए n चीजों के सभी समुच्चय की संख्या है:

$$^nC_r={n!\over(r!)(n-r)!}={n(n-1)(n-2)....to \ r \ factors.\over r!}$$

  $$ Note \ that\ ^nC_r=1 \ and \ ^nC_0=1$$

महत्वपूर्ण रिजल्ट : ⁿC_r = ⁿC_(n-r).

$$(i)\ ^{11}C_4 ={(11×10×9×8)\over(4×3×2×1)}=330 $$

  $$(ii)\ ^{16}C_{13}=^{16}C_{(16-13)}=^{16}C_{3}={16×15×14\over3!}={16×15×14\over 3×2×1}=560.$$

समाधान

$$Ex.1.\ Evaluate :   {30!\over28!} $$

व्याख्या:

  $$ We\ have, {30!\over28!} ={30×29×(28!)\over28!}=(30×29)=870 $$

उदाहरण.2.  (i) ⁶⁰P₃ (ii) ⁴P₄ का मान खोंजे ? 

व्याख्या:

  $$(i) \ ^{60}P_{3}={60!\over(60-3)!}={60!\over27!}={60×59×58×(57)!\over57!}=(60×59×58)=205320.$$

(ii) ⁴P₄ = 4! = (4×3×2×1)=24.

उदाहरण.3. (i) ¹⁰C₃ (ii) ⁵⁰C₅₀ का मान खोंजे ? 

व्याख्या:

$$(i) \ ^{10}C_{3}={10×9×8\over3!}= {10×9×8\over3×2×1}=120$$

$$(iii) ^{50}C_{50}=1.\left( ^{n}C_{n}=1\right)$$

उदाहरण.4. 15 खिलाड़ियों के एक बैच में से एक क्रिकेट ग्यारह को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

व्याख्या:

(i) तरीकों की आवश्यक संख्या =

 $$ \ ^{15}C_{11}=^{15}C_{(15-11)}=^{15}C{4}={15×14×13×12\over 4×3×2×1}= 1365$$

  $$(iii) \  ^{15}C_{11}=\left( ^{n}C_{n}=1\right)$$

उदाहरण.5. कितने तरीकों से, 6 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 5 सदस्यों की एक समिति का चयन किया जा सकता है, जिसमें 3 पुरुष और 2 महिलाएं शामिल हैं?

व्याख्या:

(6 में से पुरुष 3) और (5 में से 2 महिलाएँ) को चुना जाना है।

∴ तरीकों की आवश्यक संख्या = $$\left(^{6}C_{3}×^{5}C_{2}\right)=\left({6×5×4\over3×2×1}×{5×4\over2×1}\right)=200$$

मुझे आशा है कि ये क्रमुच्चय और समुच्चय सूत्र आपके लिए सहायक होंगे। यदि आपको कोई संदेह है या उदाहरणों के साथ क्रमुच्चय और समुच्चय सूत्रों से संबंधित कुछ भी पूछना चाहते हैं, तो आप मुझसे कमेंट बॉक्स में पूछ सकते हैं।

परीक्षा के लिए ऑल द बेस्ट!