प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए समाधान के साथ घात और करणी घात की समस्याएं
प्रतियोगी परीक्षाओं में घात और करणी घात एक लोकप्रिय टॉपिक है, जो परीक्षा में अक्सर पूछे जाते हैं। कुछ छात्रों को इन प्रश्नों को हल करने में समस्या का सामना करना पड़ता है।
तो, यहां समाधान के साथ घात और करणी घात समस्याएं दी गई हैं, जिससे आप इन प्रश्नों के समस्या स्तरों को ठीक से समझ सकते हैं। इसलिए, आपको इन प्रश्नों का अभ्यास करना चाहिए क्योंकि घात और करणी घात प्रश्न प्रतियोगी परीक्षाओं में क्वानटेटिव एप्टीट्यूड का चुनौतीपूर्ण हिस्सा हैं।
घात और करणी घात की समस्याओं का समाधान
घात और करणी घात क्या है?
घात:
माना a और n क्रमशः परिमेय संख्या और एक धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि a1/n एक अपरिमेय संख्या है, तो a1/n को n का घात कहा जाता है।
a1/n = n√a = nth root of a.
साइन n√ को रेडिकल साइन के रूप में जाना जाता है और n और a को क्रमशः रेडिकल पावर और रेडिकैंड के रूप में जाना जाता है।
e.g., √2, √5, √5, a+√3 etc.
करणी घात:
जब एक संख्या P को स्वयं n बार गुणा किया जाता है, तो गुणनफल को n घात P कहा जाता है और इसे Pn लिखा जाता है। यहाँ, P को आधार कहा जाता है और n को घात का सूचकांक कहा जाता है।
समाधान के साथ समस्या:
$$Q.1.\ 81^{2.5}×8^{4.5}÷3^{4.8}=9^?$$
$$(A) \ 7.1 $$
$$(B) \ 9.4 $$
$$(C) \ 4.7 $$
$$(D) \ 4.5 $$
Ans . A
Solution . $$ 81^{2.5}×9^{4.5}÷3^{4.8}=9^? $$
$$ → {(3^4)^{2.5}×(3^2)^{4.5} \over 3^{4.8}}=9^{?} $$
$$ → {3^{10}×3^9\over3^{4.8}}=(3^2)^?$$
$$ → 3^{19-4.8}=(3^2)^?$$
$$2×?=14.2$$
$$ → ?={14.2\over2}=7.1$$
$$Q.2.\ 5\sqrt {5 }×5^3 ÷ 5^{-3/2}=5^{a+2}\ , then\ a\ is \ equal \ to $$
$$(A) \ 4 $$
$$(B) \ 5 $$
$$(C) \ 6 $$
$$(D) \ 8 $$
Ans . A
Solution . $$\ 5\sqrt {5 }×5^3 ÷ 5^{-3/2}=5^{a+2}\ $$
$$ → {5.5^{1/2}×5^3\over5^{-3/2}}=5^{a+2}$$
$$ → 5^{1+{1\over2}+3}.5^{3/2}=5^{a+2} $$
$$∴ a+2 = 6 $$
$$ a=6-2=4$$
$$Q.3.\ 2^{x-1}+2^{x+1}=2560 \ , then\ find\ the \ value \ of \ x $$
$$(A) \ 10 $$
$$(B) \ 12 $$
$$(C) \ 9 $$
$$(D) \ 8 $$
Ans . A
Solution . $$\ 2^{x-1}+2^{x+1}=2560 \ $$
$$→ 2^{x-1}+2^2.2^{x-1}=2560$$
$$ → 2^{x-1}(1+4)= 2560 $$
$$ 2^{x-1}={2560\over5}=512 $$
$$→ 2^{x-1}=2^9$$
$$ ∴ \ x-1= 9 $$
$$x=10 $$
$$Q.4.\ \sqrt {2^n }=64, then\ n \ is \ equal \ to $$
$$(A) \ 2 $$
$$(B) \ 4 $$
$$(C) \ 6 $$
$$(D) \ 12 $$
Ans . D
Solution . $$ \sqrt {2^n } \ = 64 → 2^{n/2}= 2^6$$
$$ Since, base \ are \ same $$
$$ ∴ {n\over2} =6 $$
$$ → n = 6×2 = 12$$
$$Q.5.Simplify\ \left( ^3\sqrt {^6\sqrt { 2^9} \ } \ \right)^4 × \left( ^6\sqrt {^3\sqrt { 2^9} \ } \ \right)^4 $$
$$(A) \ 2^4 $$
$$(B) \ 2^9 $$
$$(C) \ 2^3 $$
$$(D) \ 2^{16} $$
Ans . A
Solution . $$= \left(2^{9×{1\over6}×{1\over3}} \right)^4 ×\left(2^{9×{1\over3}×{1\over6}} \right)^4 $$
$$= (2^{1/2})^4×(2^{1/2})^4$$
$$ = 2^2×2^2$$
$$ = 2^{2+2}=2^4$$
$$Q.6.\ 17^{3.5}×17^{7.3}÷17^{4.2}=17^? $$
$$(A) \ 8.4 $$
$$(B) \ 8 $$
$$(C) \ 6.6 $$
$$(D) \ 6.4$$
Ans . C
Solution . $$\ 17^{3.5}×17^{7.3}÷17^{4.2}=17^? $$
$$ → {17^{3.5+7.3} \over17^{4.2}}=17^? $$
$$ → 17^{10.8-4.2}=17^? $$
$$ 17^6.6 = 17^?$$
$$ Since, base \ are \ same $$
$$ ∴ ? =6.6 $$
$$ Q.7.\ If \ a = {\sqrt {3} \ \over2}, then \ the \ value \ of \ \sqrt { 1+a} \ +\sqrt {1-a} \ is $$
$$(A) \ 2-\sqrt {3} \ $$
$$(B) \ 2+\sqrt {3} \ $$
$$(C) \ {\sqrt {3} \over2} $$
$$(D) \ \sqrt {3} \ $$
Ans . D
Solution . $$ \ Given \ a = {\sqrt {3} \ \over2} $$
$$ ∴ \ \sqrt {1+a } \ + \sqrt {1-a } \ ^2 = (1+a)+(1-a)+2\sqrt { (1+a)(1-a)} \ $$
$$ [∴ (a+b)^2= a^2+b^2+2ab] $$
$$= 2+2\sqrt {1-a^2 } \ $$
$$=\left( 1+\sqrt {1-\left({\sqrt {3 } \ \over2} \right)^2 } \ \right) $$
$$ = 2\left(1+\sqrt {1-{3\over4} } \ \right) $$
$$ = 2\left(1+\sqrt {{4-3\over4} } \ \right)= 2 \left(1+{1\over2} \right)$$
$$ = 2×{3\over2} $$
$$ ∴ (\sqrt {1+a} \ + \sqrt {1+a} \ )^2 =3 $$
$$ ∴ (\sqrt {1+a} \ + \sqrt {1-a} \ )= \sqrt {3} \ $$
$$Q.8.\ {1\over(216)^{-2/3}}+{1\over(256)^{-2/3}}+{1\over(243)^{-1/5}} $$
$$(A) \ 103 $$
$$(B) \ 105$$
$$(C) \ 107 $$
$$(D) \ 109$$
Ans . A
Solution . $$\ {1\over(216)^{-2/3}}+{1\over(256)^{-2/3}}+{1\over(243)^{-1/5}} $$
$$= (216)^{2/3}+(256)^{3/4}+(243)^{1/5} $$
$$ = (6^2)^{2/3}+(4^4)^{3/4}+(3^5)^{1/5} $$
$$= 36+64+3 $$
$$ 103 $$
$$ Q.9. \ If \ \left(\sqrt {2} \ ^\sqrt {2 } \ \right)^\sqrt {2 } \ = 2^x, then \ x \ is \ equal\ to $$
$$ (A) \ 4 $$
$$ (B)\ 2 $$
$$ (C) 1 $$
$$ (D) \sqrt {2} \ $$
Ans . C
Solution . $$\ Given, \left(\sqrt {2} \ ^\sqrt {2 } \ \right)^\sqrt {2 } \ = 2^x$$
$$→\sqrt {2}^{\sqrt {2} × \sqrt {2} \ \ } \ = 2^x $$
$$→ \left(\sqrt {2} \ \right)^2=2^x$$
$$ (2)^1= 2^x $$
$$ ∴ x = 1$$
$$Q.10.\ \left( {32\over243}\right)^{-4/5} $$
$$(A) \ {4\over9}$$
$$(B) \ {9\over4}$$
$$(C) \ {16\over81}$$
$$(D) \ {81\over16}$$
Ans . D
Solution . $$\ \left( {32\over243}\right)^{-4/5} = \left( {2^5\over3^5}\right)^{-4/5} $$
$$=\left( {2\over3}\right)^{5×-{-4\over3}} $$
$$=\left({2\over3}\right)^{-4}=\left({3\over4}\right)^4 = {81\over16} $$
अगर आप घात और करणी घात से संबंधित कुछ सवाल पूछना चाहते हैं, तो आप मुझसे कमेंट सेक्शन में कुछ भी पूछ सकते हैं। अधिक अभ्यास के लिए अगले पेज पर जाएं।
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Vikram Singh
Providing knowledgable questions of Reasoning and Aptitude for the competitive exams.
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